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Discover蓄电池异构调度约束下纯电动汽车充电调度

 

摘要

在车队中采用纯电动汽车（EVs）需要将充电安排与日常运营相结合。复杂的公用事业成本结构、有限的电池容量以及对共享充电资源的竞争，使得这一问题变得复杂。现有的同时规划路线和充电的方法既没有考虑完整的成本结构，也没有采用高保真充电模型，且此前没有研究分析过包含具有异构路径约束车辆的车队。本研究通过结合最先进的灵活调度方案、分时（TOU）需求成本以及借鉴自其他前沿研究的非线性变费率充电模型，填补了这些研究空白。所提方法与两种最先进的方法进行了对比验证，分别实现了89%和24%的成本降低。针对混合固定调度和灵活调度车辆的车队构成分析表明，成本与计算复杂度之间存在权衡，在所考虑的场景中，50/50的比例提供了最佳平衡。
 
电动汽车（EVs）正迅速得到广泛应用。降低的能源和维护成本[1]为车队运营商采用电动汽车提供了动力，而额外的环境和社会效益[2]则进一步推动了公共机构的采用。然而，有几个因素使得电动汽车在车队中的广泛采用变得复杂。电动汽车的续航里程通常低于同类内燃机车辆，且充电时间明显更长[3]，这通常需要安排充电计划以确保连续运行并控制成本[3].
为电动汽车车队安排充电比单纯在电量低时充电要复杂得多。充电基础设施造价昂贵，通常导致充电桩数量少于车辆数量，若管理不善，这种竞争可能会推高成本或中断服务。此外，公用事业费率结构往往是多方面的，既收取总能耗费用（consumption），也收取最大瞬时功率费用（demand），且两者都可能受时间相关因素影响分时(TOU)费率。
现有电动汽车充电调度方法的一个关键区别在于它们在多大程度上也确定车辆路径。其中一部分研究，包括[4,5,6,7,8,9,10]，假设路径是完全已知的先验信息，并且仅专注于充电调度。该领域的最新进展包括考虑消费和需求的TOU成本[4,5,6]，以及非线性充电曲线[7,8,9]，以及可变速率充电 [4,5]。特别是，我们之前的工作[10]开发了一种非线性、变速率充电模型，该模型整合了[4]针对固定调度车队的完整分时用电（TOU）消耗和需求成本结构。
其他研究，例如[11,12,13,14,15,16]，将问题放宽为同时调度路线时间安排、车辆与路线分配以及充电，但仍假设每条路线的路径已知。据作者所知，这些研究均未考虑分时用电需求成本。分时用电消耗成本常被考虑，例如[11]，但需求成本占电动汽车车队总运营成本的很大比例[7]。在现有的灵活调度模型中，计算分时用电需求成本的一个主要障碍是广泛采用的“每个时间步长全额充电”的简化假设[11,12,13,14,15,16]，这使得难以准确追踪需求成本计算所需的功率消耗曲线。
本研究基于[10,11]提供了一种在全时段电价成本结构下，使用非线性、变速率充电模型为电动汽车车队同时进行路径规划和充电调度的方法。据我们所知，这是首个在灵活调度电动汽车充电问题中同时考虑时段电价需求成本与非线性、变速率充电模型的研究。此外，本稿件首次分析了具有异构路径约束（包含固定调度和灵活调度车辆的车队）的电动汽车车队充电调度问题。
本文的其余部分安排如下。第2节提供了更详细的文献综述，并将本研究的贡献置于现有研究体系中进行定位。第3节介绍了公式化过程。第四节展示并分析了结果，将所提方法与[10,11]以及不同的车队构成进行了比较。第5节总结了这项工作。

2. 文献综述

在现有文献中，电动汽车车队充电调度问题在假设可用的路径信息方面存在很大差异。在光谱的一端，一些研究假设对车辆何时需要充电没有先验知识，这在公共充电站中很常见。这些研究要么专注于预测充电需求[17,18]，要么专注于在车辆到达时被动制定充电计划[19,20,21]。然而，对于管理车队而言，利用已规划路径的信息或将路径规划与充电调度联合确定通常更具优势。
在制定充电计划时，可能还需要确定路由的三个方面：
  • 行驶路径，即路线；
  • 路线的出发时间；
  • 将车辆分配至路线。
因此，根据已知方面的情况，会出现三类问题先验信息。这些问题被称为开放路径（三者均未知），灵活排班（路径已知；时间与分配未知），以及固定时间表（三者均已知）在本手稿中。
开放式路径电动汽车充电调度问题，通常被称为电动汽车路径问题（EVRP），需要将路径确定作为解决方案的一部分。现有的EVRP研究涉及混合车队[22]、非对称路网[23]以及充电器容量有限[24]等问题[25,26,27,28,29]。由于路径规划组件固有的复杂性，几乎所有电动汽车路径规划（EVRP）的研究工作都会对充电模型和成本结构做出大量的简化假设[29,30,31].
灵活调度问题假设路径已知先验信息但允许将时间安排和车辆分配与充电计划进行联合优化。这种复杂性的降低使得[14,15,16,32]能够考虑随机问题变体，并且[11,12,13]能够处理混合电动与传统车队。尽管取得了这些进展，灵活调度方法仍然依赖于简化的充电模型和成本结构。几乎所有方法都假设车辆在一个时间步长内充满电[11,12,13,14,15,16]，并且几乎所有方法都只考虑消耗成本，而不考虑需求成本[11,12,13,14,15,16]. [33] 最近的工作研究了具有部分充电策略的多路径、多场站灵活调度网络，并且 [34] 在车辆调度与充电的综合建模中考虑了分时用电定价；然而，两者均未涉及分时用电需求成本。在灵活调度场景下，唯一已知同时解决分时用电需求成本和非线性部分充电模型的工作是 [35]；然而，[35] 通过将车辆可用性视为二元的在/离线运行状态，而非将车辆分配给具有不同持续时间和能量需求的特定路线，从而简化了调度问题。
固定调度问题假设路径、时间安排和车辆分配均已知，仅需确定充电计划。这种复杂性的进一步降低，使得固定调度研究能够解决分时电价下的用电与需求成本[4,5,6]、非线性部分充电特性[7,8,9,36]、变速率充电[4,5]以及电池健康状况[8,37]等问题，而这些方面在开放路径或灵活调度方法中很少被提及。最近的研究[36] 专门针对定时公交车队的TOU（分时电价）用电成本、部分充电以及充电器容量有限的问题，并通过分支定价法求解。我们之前的工作 [10] 在此文献的基础上，将 [9] 的非线性、变速率充电模型与 [ 的完整TOU用电和需求成本结构相结合4].
虽然这种分类有助于定位相关文献，但现实中的电动汽车车队往往无法简单地归入单一类别。例如，公交车队可能既包含固定路线和时刻表的快速公交（BRT）车辆，也包含时间安排和车辆分配更灵活的常规公交车。同样，快递车队可能混合了固定路线的邮件投递车辆和灵活时刻表的包裹投递车辆。现有的灵活时刻表和开放路线方法原则上可以通过添加约束条件来处理此类情况，从而固定已知部分 [11,23]，但此前尚无研究明确分析过包含不同路径约束类型车辆的异构车队。
前述分析指出了本研究旨在填补的两个空白：（1）在灵活调度电动汽车车队充电调度中，缺乏详细的分段充电模型和分时电价需求成本；（2）缺乏对具有异构路径约束的车队进行分析。事实证明，引入高保真成本结构和充电模型能显著降低固定调度场景下的成本[4,9]；本研究将这些优势扩展到灵活调度问题中。因此，本研究的贡献如下：
  • 一种针对灵活调度电动汽车车队充电调度的新型解决方案，该方案结合了变速率非线性部分充电模型以及完整的峰谷电价（TOU）用电和需求成本；
  • 对具有异构路径约束的电动汽车车队充电调度问题的首次分析。
这是通过扩展[11]并引入[10]中的TOU成本结构和充电模型来实现的，并针对相互兼容性进行了调整。开放路径问题留待未来研究。

3. 灵活时刻表电动汽车调度与充电

灵活调度车辆的基础模型源自[11]，并结合了分时电价需求成本以及基于[10]的可变速率非线性CC-CV充电曲线进行了扩展。该模型解决了从单一中央仓库运行的电动汽车车队的路径调度与充电问题，如图1所示。.
Futuretransp 06 00209 g001
图1。灵活排班的电动汽车调度与充电场景示意图。电动汽车从中央仓库分配路径，并根据需要安排充电，以最小化运营成本。
为求完整，此处重述了来自[11]的相关公式，并对符号进行了调整以适应本工作的扩展。所有与[11]的偏差以及来自[10]的补充均已明确注明。
该公式首先定义I, J, K，以及L作为车辆、路线、时间步和充电器类型的索引集。具体而言，i∈I表示车辆，th这个j∈J路径，jth从规划时界起点0到终点的离散时间步k∈K，以及这个充电器类型。决策变量如下：l∈L，当车辆时等于1lth使用充电器类型充电xilk∈{0,1}在时间，当车辆时等于1开始路线在时间，车辆的电量（kWh）在时间; yijk∈{0,1}；以及，车辆获得的能量（kWh）来自充电器类型在时间步长从到. 变量; sik≥0∈R，并且是[是为支持部分充电而新引入的。k; and gilk≥0∈R, the energy (kWh) gained by vehicle i from charger type l during the time step from k to k+1. The variables xilk, yijk, and sik are original to [11]; gilk is newly introduced to support partial charging.
问题的参数如下。对于路径是完成该路径所需的时间步数，, δjk是消耗的能量，以及δjs是期望的开始时间。集合kj,d将开始时间映射到路径所占用的额外时间步集合Kj(k)={k′∣k<k′<k+δj}如果开始于时间. 对于车辆是电池容量，是允许的最低充电电量，是期望的起始充电电量，以及是期望的结束充电电量。, Ei is the battery capacity, Ei,min is the minimum allowed charge level, si,d0 is the desired starting charge level, and si,dT is the desired ending charge level.
如图所示图2，该公式可理解为一个离散装箱问题，其中每辆车为一个箱子，路径和充电会话被装入其中。每条路径占用δjk个时间槽；每个充电会话至少占用一个。
Futuretransp 06 00209 g002
图2。这张图片展示了路径与充电调度问题的装箱问题解释。每辆车都是一个箱子；路径和充电时段是装入其中的物品，贯穿整个规划周期。

3.1. 成本

由于gilk代表的量与[10]中的相同（以千瓦时计的能量增量），因此该研究中的分时电价（TOU）用电量和需求成本函数可直接应用。同时保留[11]中的开始时间偏差成本。
分时电价的消耗成本为
∑k∈Kcck∑i∈I∑l∈Lgilk,
 
其中是应用于时间步内消耗电能的随时间变化的费率cckk.
来自[10]的需量费用包含两个部分。基准需量费用按最大功率抽取的费率计算，该功率是基于持续时间为Δ（通常为15或30分钟）的滑动窗口计算的平均值，并在整个规划期内取最大值。分时电价需求成本对相同的平均功率消耗应用第二种费率，但仅针对高峰时段子集计算最大值KTOU这些组件及其与瞬时和平均功率消耗的关系在图3中展示.
Futuretransp 06 00209 g003
图3。瞬时功率消耗、平均功率消耗与基准和分时电价需求成本组件之间的关系。粉色阴影表示高峰时段。红色圆圈标记了用于基准和分时电价需求成本计算的平均功率值。
给定最大平均功率消耗值（基准）和（分时电价），总需求成本为pmaxpmax,TOU
cdpmax+cd,TOUpmax,TOU,
 
其中和是基准电价和分时电价。在优化过程中，和是满足cdcd,TOUpmaxpmax,TOU
pmax≥pΔk∀k∈K,pmax,TOU≥pΔk∀k∈KTOU,pΔk=1Δ∑k′=k−mk−1eδk′,∀k∈K,
 
和
eδk=eδk,load+∑i∈I∑l∈Lgilk,∀k∈K,
 
的松弛变量，其中是优化时间步长，, 步骤中的功耗是δm=ΔδpΔkk在先前窗口内取平均值，并且和是时间步中使用的能量Δeδkeδk,loadk分别由车辆和不受控制的背景读档产生。
路径开始时间偏差成本来自[11]会对偏离各路径期望开始时间的出发行为进行惩罚: kj,d
∑k∈K∑j∈Jcjk|k−kj,d|yijk.
 
自从k和kj,d由于参数而非决策变量，该成本项是线性的。

3.2. 约束条件

约束条件分为两组：一组控制路径调度和充电器分配，另一组控制充电电量动态变化。
第一组约束首先要求在任何时间步，每辆车最多只能被分配一个任务（路径或充电会话）：
∑jyijk+∑lxilk≤1∀i,k.
每条路径必须分配给且仅分配给一辆车，并且必须在其允许的时间窗口内开始。定义Kj+为允许的开始时间集合，并且Kj×作为不允许的开始时间集合（带Kj+∪Kj×=K和Kj+∩Kj×=∅),
∑i∑k∈Kj+yijk=1∀j,
∑i∑k∈Kj×yijk=0∀j.
这些对[11]中的相应约束进行了泛化，以允许更具表达力的窗口规范。
执行路线的车辆在该路线期间不得被分配到任何其他任务。由于yijk仅在路线开始时间等于1，但该路线会占用随后的δjk−1步骤，因此强制执行如下
∑k′∈Kj(k)(∑j′≠j,j′∈Jyij′k′+∑l∈Lxilk′)≤(δjk−1)(1−yijk)∀i,j,k∈Kj+.
右侧是一个大M约束，带有M=δjk−1:当yijk=1时，它会塌缩为零，在路径持续期间阻止所有其他赋值；当yijk=0时，该约束条件由(1)平凡地满足。
如果车辆的电量不足以完成路线，则不能为其分配该路线：
(δjs+Emin,i)yijk≤sik∀i,j,k∈Kj+.
每种充电器同时服务的车辆数量不能超过该类型充电器的数量，Cl:
∑l∈Lxilk≤Cl∀i,k.
第二组控制充电水平。状态动力学为
sik+1=sik+∑l∈Lgilk−∑jδjsyijk∀i,k.
这修改了[11]中相应的约束条件，该约束条件通过一组松弛变量仅允许单步满容量充电。当前公式用连续增益变量gilk替换了该项，从而实现了部分充电。
增益变量被限制为遵循[10]:
gilk≤b¯lccxilkgilk≤(a¯lcv−1)sik+b¯lcvgilk≥0∀i,l,k,
其中是与恒流（CC）阶段相关的动态系统参数，并且是与恒压（CV）阶段相关的参数。开关时间和充电曲线如图b¯lcca¯lcv,b¯lcv图4中的CC-CV非线性充电曲线。需要注意的是，为简化起见，本研究未考虑充电器效率，即假设充电器效率为100%。修改公式以考虑效率是未来研究的一个可能方向。
Futuretransp 06 00209 g004
图4。CC-CV充电特性。电流保持恒定，直到电池电压达到阈值；此后电压保持恒定，电流逐渐衰减。电流从恒定转为衰减的时间点由虚线表示。电池容量随之增加。
最后，初始和终端电荷水平被约束为所需值：
si0=si,d0∀i,
siT≥si,dT∀i.

3.3. 优化问题

使用简写
x={xilk∀i∈I,l∈L,k∈K}y={yijk∀i∈I,j∈J,k∈K}s={sik∀i∈I,k∈K}g={gilk∀i∈I,l∈L,k∈K}eδ={eδk∀k∈K}pΔ={pΔk∀k∈K},
 
完整的混合整数线性规划为
minx,y,s,g,eδ,pΔ,pmax,pmax,TOU∑k∈Kcck∑i∈I∑l∈Lgilk+cdpmax+cd,TOUpmax,TOU+∑k∈K∑j∈Jcjk|k−kj,d|yijk
s.t.∑j∈Jyijk+∑l∈Lxilk≤1∀i∈I,k∈K
∑k′∈Kj(k)∑j′∈J≠jyij′k′+∑l∈Lxilk′−(δjk−1)(1−yijk)≤0∀i∈I,j∈J,k∈Kj+
∑i∈I∑k∈Kj+yijk=1∀j∈J
∑i∈I∑k∈Kj×yijk=0∀j∈J
∑l∈Lxilk≤Cl∀i∈I,k∈K
δjs+Emin,iyijk≤sik∀i∈I,j∈J,k∈Kj+
sik+1=sik+∑l∈Lgilk−∑j∈Jδjsyijk∀i∈I,k∈K
gilk≤b¯lccxilk∀i∈I,l∈L,k∈K
gilk≤(a¯lcv−1)sik+b¯lcv∀i∈I,l∈L,k∈K
gilk≤0∀i∈I,l∈L,k∈K
sik≤simax∀i∈I,k∈K
sik≥simin∀i∈I,k∈K
si0=si,d0∀i∈I
siT≥si,dT∀i∈I
eδk=eδ,kload+∑i∈I∑l∈Lgilk,∀k∈K
pΔk=1Δ∑k′=k−mk−1eδ,k′,∀k∈K
pmax≥pΔk,∀k∈K
pmax,TOU≥pΔk∀k∈KTOU
x,y∈{0,1}
一般而言，该问题是NP难的[38]，因此在最坏情况下无法在优于指数级的时间内解决。然而在实践中，正如第四节中的结果所示，该模型可以在合理的时间限制内为中小规模实例求解出最优或近优解。

4. 结果与分析

所提方法在三种场景下进行了评估：仅灵活调度车辆、仅固定调度车辆，以及固定与灵活调度车辆混合运行。在灵活调度场景中，该方法与[11]进行对比；在固定调度场景中，与[10]对比；在混合运行场景中，则分析了该方法在不同车队构成下的表现。实验场景通过合成生成以实现受控对比，但其设计旨在反映犹他交通局（UTA）真实的电动车队运营情况。
为确保不同场景间的可比性，除非另有说明，否则全程使用相同的车队、电池容量、充电器配置和成本结构。车辆模型参考了电池容量为388 kWh的纯电动公交车，符合典型电动公交车规格[39] 且UTA的公交车处于服务状态。所有车辆均需在90%的荷电状态下开始一天的运行，并在一天结束时恢复至该水平。电池充电受限，需保持在容量的20%至95%之间，以确保运行稳健性并减少极端情况下的磨损。整个过程中使用32辆车的车队。
充电器配置包括10台场站充电器（每台50 kW）和5台车站充电器（每台300 kW），与先前研究一致[9,10]。假设所有充电器共用一个公用事业电表，成本采用落基山电力公司8号费率表的冬季费率[40]，该费率包括用电量和需量的分时电价，高峰时段为上午6点至9点和晚上6点至10点。路线时间偏差成本设定为$所有路线和场景中，每分钟偏离期望开始时间的成本为0.06。规划周期以10分钟为时间步长进行离散化。请注意，为便于阅读，本节中的成本将以日成本形式报告。需求成本涵盖一个月的计费周期，因此为了报告日成本，将混合整数线性规划（MILP）解中的需求成本除以30，得出摊销后的日需求成本。由于优化周期为完整的24小时，因此消耗成本和路线时间偏差成本均为日成本。

4.1. 仅限灵活调度车辆

[11]中引入的两个关键扩展（分时电价需求成本和非线性变费率充电）通过比较四种方法进行评估：第3节 (TOU demand costs and non-linear variable-rate charging) are evaluated by comparing four methods:
  • Rinaldi：[11];
  • TOU成本：[11]方法，并结合了TOU成本考量；
  • 变速率：[11]方法，并结合了非线性、变速率的局部充电；
  • VR-TOU：所提出的方法，结合了分时电价成本和变速率部分充电。
在此场景中，生成了80条路线，其持续时间在30至225分钟之间均匀分布，平均功率在28至36千瓦之间均匀分布，导致每条路线的平均能耗约为电池容量的18%。允许的开始时间限制在上午5点至晚上10点之间，每条路线有50%的概率具有固定开始时间，从而形成固定和灵活时间路线的混合；所有路线仍可分配给任何车辆。
因为[11]假设在单个时间步长内完成满容量充电，因此Rinaldi和TOU成本方法不区分充电器类型。在单个10分钟步长内将车辆从20%的最低电量充至95%的最大电量（291 kWh），意味着充电速率约为1726 kW，这与市售装备不符，但反映了[中的假设11]。变速率和VR-TOU这些方法使用上述充电器配置，并通过部分充电模型遵守每个充电器的速率限制。

灵活调度结果

该分析使用了10个随机生成的实例，在所有四种方法中保持固定以确保可比性。所有报告的数值均为这10次运行的平均值。
成本明细在表1中显示VR-TOU实现了最低的总成本，为$118.05/天，相比于降低了89%Rinaldi主要驱动因素是几乎消除了高峰时段的需量费用：通过遵守充电器的功率限制，变费率模型大幅降低了峰值功率需求。TOU成本该方法通过直接最小化分时电价成本，相比于Rinaldi显著降低了成本，但如果不进行部分充电，其产生的需量费用将高于VR-TOU。有趣的是，变速率也显著降低了成本，相对于Rinaldi通过降低峰值功率，尽管它使用了与相同的成本模型Rinaldi，表明仅充电基础设施就能提供显著的需求成本缓解。
表1。日常运营成本。
在表2中的计算结果表明仅需求成本结构（TOU成本）显著增加了求解时间，其中TOU成本达到600秒的限制，最终以12.8%的最优性差距结束。变速率充电模型（变速率）抵消了这一影响：它提供的额外调度灵活性降低了满足需求约束相关的组合难度，因此VR-TOU求解所需时间与Rinaldi和变速率.
表2。计算特征。
每种方法对基础设施的影响也值得关注。Rinaldi和TOU成本这些方法分别需要1534 kW和410 kW的平均峰值充电功率。虽然现有的充电器能够达到410 kW [41]，但它们具有较高的资本成本 [42]. 1534 kW的充电速率超过了任何市售充电器的额定功率。相比之下，变速率和VR-TOU方法遵循充电器速率限制，平均功率分别为300 kW和265 kW，完全在现有装备的范围内，且在需求电费和基础设施成本方面均大幅降低。因此，所提出的方法在不显著增加计算负担的情况下，相比现有技术具有明显成本和基础设施优势[11]

4.2. 仅限固定班次车辆

尽管[11]是为灵活调度车队设计的，但它将固定调度车辆作为特殊情况处理。因此，所提出的方法也可应用于固定调度问题，并在此与[的专用固定调度模型进行比较10].
该场景的路线生成以匹配[10]中的分析：每辆车被分配一条时长在30至120分钟内均匀分布的路线，站点停留时间在20至30分钟内均匀分布，功率消耗在28至36千瓦内均匀分布。每辆车于凌晨5点从场站出发，在路线行驶和站点停留之间交替进行，直到无法在晚上10点前完成完整路线，然后返回场站。场站充电器在晚上10点至凌晨6点可用；站点充电器在早上6点至晚上10点可用。

固定调度结果

固定调度分析使用了10个随机生成的实例，在两种方法中均保持固定，所有数值在多次运行中取平均值。
结果显示表3表明所提出的方法在所有报告的指标上均优于[10]。它找到初始可行解的速度快了约六倍（9.4秒对56.3秒），并且达到最终值2%以内（收敛时间）的速度快了约八倍（46.9秒对380.5秒）。在时间限制下更小的最优性间隙（1.73%对6.25%）证实了所提出的模型更易处理，从而产生了成本更低的解。
表3。固定时间表场景结果。
所提方法24%的成本降低无法仅靠最优性差距的差异来完全解释。一个可能的因素是[10]的图结构，它要求共享充电器的连续车辆之间存在切换时间步，从而有效地排除了某些可行的充电调度方案。关于成本差距背后精确机制的研究留待未来工作；尽管如此，在成本、解的质量和计算速度上的持续提升，充分证明了所提公式在固定调度问题上的优势。

4.3. 固定与灵活调度分析

为了分析异构车队组成带来的权衡，所提出的方法在从完全固定调度（0%）到完全灵活调度（100%）的场景中进行评估，增量为25个百分点。这些场景采用接近可行充电所需最小值的简化充电器配置（五个场站和两个站点充电器），刻意制造充电资源的激烈竞争，以压力测试路径灵活性带来的调度效益。路径生成采用与固定调度场景相同的程序，0%基准是一个包含32辆车的完全固定调度问题。
每个连续的场景都会将一定比例的车辆及其路线从固定时间表转换为灵活时间表。当固定时间表路线被转换时，其允许的开始时间将被限制在以原始出发时间为中心的两小时窗口内，这在限制问题规模增长的同时，仍能提供有意义的调度灵活性。对于更复杂的场景，需要4小时的时间限制；除0%场景外，所有场景都从0%的解进行热启动，以确保至少有一个可行的起始点。求解器预处理程序后问题规模的急剧缩小，在...中可见表4，表明可能实现更紧凑的公式化，值得在未来的工作中进一步探索。
表4。并发固定与灵活调度场景结果。

固定与灵活调度结果的并发对比

结果显示表4随着船队从完全固定（0%，$367.46/天）过渡到50/50混合（50%，$348.73/天），成本明显降低。25%和50%的情景遵循松弛理论的预期模式：更大的灵活性扩大了可行集，求解器利用这一点找到了更低成本的解决方案。
然而，75%和100%场景的成本较50%场景略有增加，这乍看之下似乎与松弛理论相矛盾。稳定时间数据提供了合理解释：50%场景在1956秒内稳定，75%场景在4319秒内稳定，100%场景在6298秒内稳定；后两者虽然远低于14400秒（4小时）的时间限制，但反映出求解器在停止时仍在积极优化。75%和100%场景下预处理后约束和变量数量的增加（见表4) 证实了呈指数级增长的组合难度。因此，这些场景报告的成本反映的是在时间限制内找到的最佳可行解，而非真正的最优解；成本的表观增加是时间预算造成的，而非问题的基本属性。
在这种特定情境下，实际结果表明，在给定的时间预算内，50/50的车队构成达到了最佳平衡：与完全固定车队相比，它实现了5%的成本降低，同时在几小时内仍能保持计算可行性。结果表明，电动汽车车队运营商可以从仔细分析哪些车辆被视为固定调度与灵活调度中获益，因为合适的组合取决于可用的规划时间和车队的运营约束。由于各种方法在截止时间仍存在最优性差距，如果允许求解器运行更长时间，不同的车队构成可能会产生更好的成本降低效果。这些结果强烈反映了充电器配置和时间预算，不应推广到所有情境。

5. 结论

这项工作解决了在现实公用事业成本结构下，电动汽车车队路径与充电联合调度的问题。现有的灵活调度方法忽略了分时电价（TOU）需求成本，并依赖于简化的每时间步全充电假设；本研究通过扩展[11]，引入了分时电价的用电与需求成本，以及[ %%]中的非线性可变速率充电模型，填补了这两项空白。所提出的方法相比[ %%]实现了89%的成本降低，相比[ %%]实现了24%的成本降低，且相对于[10] 并且相对于 [ 显著提高了可处理性11] and a 24% reduction over [10], with no increase in computational burden relative to [11] and substantially improved tractability relative to [10].
对包含固定班次和灵活班次车辆的混合车队组成的分析（这是文献中首次进行此类分析），揭示了成本节约与计算复杂度之间的权衡。在所考虑的场景中，50/50的混合比例提供了最佳平衡，与全固定班次车队相比，每日成本降低了约5%，同时仍能在实际的时间预算内求解。在更高灵活性比例下结算时间的快速增长表明，75%和100%时表面的成本增加反映的是求解器的时间限制，而非真正的最优解，这表明高效的建模和热启动是未来研究的有效方向。虽然50/50的混合比例肯定不是普遍的最佳平衡，但所提供的场景展示了如何利用优化框架针对特定场景得出此类结论。该框架可用于分析特定场景下的其他运营考量，例如进行灵敏度测试以确定最佳车队规模、评估不同充电桩数量的影响、评估最佳时间离散化/计算权衡，以及车队的路径需求容量。因此，该框架可作为更广泛决策用途的工具。
未来的工作还可以研究在固定调度问题中，相比于[10]成本改善的准确来源，探索在灵活调度范式中加入额外的运营约束（例如每次访问充电站的充电连接次数限制），并将异构车队分析扩展到开放路线车辆。
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